454 CHAPTER 6 Trigonometric Functions Step 3 The five key points on the graph of π ( ) = + y x 2cos4 3 are π π π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − 3 4 , 2 5 8 , 0 2 , 2 3 8 , 0 4 , 2 Step 4 Plot these five points and fill in the graph of the cosine function as shown in Figure 81(a). Extend the graph in each direction to obtain Figure 81(b), the graph of π ( ) = + y x 2cos 4 3 . Step 5 A vertical shift up 1 unit gives the final graph. See Figure 81(c). Figure 81 Add 1; Vertical shift up 1 unit x y 2 22 2p –– 2 2p –– 4 2p –– 8 p –– 8 p –– 4 23p ––– 8 25p ––– 8 (2 , 2) p–– 4 ( , 2) p–– 4 (2 , 22) p–– 2 x y 2 22 2p –– 2 2p –– 4 2p –– 8 p –– 8 23p ––– 8 25p ––– 8 23p ––– 4 (2 , 2) 3p––– 4 (2 , 2) p–– 4 (2 , 22) p–– 2 (a) x y 3 22 2p–– 2 2p –– 4 2p –– 8 p –– 8 p –– 4 23p ––– 8 25p ––– 8 (2 , 3) p–– 4 ( , 1) p–– 8 ( , 3) p–– 4 (2 , 21) p–– 2 (c) y 5 2 cos (4x 1 3p) 1 1 (b) y 5 2 cos (4x 1 3p) The graph of π π ( ) ( ) = + + = ⎡ + ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + y x x 2cos 4 3 1 2cos 4 3 4 1 may also be obtained using transformations. See Figure 82. Figure 82 Add 1; Vertical shift up 1 unit 3P 4 1 4 Replace x by 4x; Horizontal compression by a factor of ; Replace x by x 1 Shift left units 3P 4 p 2 p 4 (a) y 5 2 cos x (b) y 5 2 cos (4x) 22 2p p 2 y x 22 2 y x ( , 22) (p, 22) (2p, 2) p–– 4 ( , 2) p–– 2 x y 2 22 2p –– 2 2p –– 4 2p –– 8 p –– 8 p –– 4 23p ––– 8 25p ––– 8 23p ––– 4 (2 , 2) 3p––– 4 (2 , 2) p–– 4 ( , 2) p–– 4 (2 , 22) p–– 2 3p 4 (c) y 5 2 cos [4 (x 1 )] 5 2 cos (4x 1 3p) x y 3 22 2p–– 2 2p –– 4 2p –– 8 p –– 8 p –– 4 23p ––– 8 25p ––– 8 23p ––– 4 (2 , 3) 3p––– 4 (2 , 3) p–– 4 ( , 3) p–– 4 ( , 1) p–– 8 (2 , 21) p–– 2 (d) y 5 2 cos (4x 1 3p)11 (2 , 1) p–– 8 (2 , 1) 3p––– 8 (2 , 1) 5p––– 8 Now Work PROBLEM 3
RkJQdWJsaXNoZXIy NjM5ODQ=