Section 7.6 AN57 101. ( ) ( ) + − = + − = − − = ⋅ − ⋅ − x h x h x h x h x h x h x h h x h h x h h sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin 1 cos cos sin sin 1 cos 103. (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + = + + − + − − − − − − − − − − − − tan tan 1 tan 2 tan 3 tan tan 1 tan 2 tan 3 tan tan 1 tan 2 tan tan 3 1 tantan 1 tan 2 tantan 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − + − + − ⋅ = + − ⋅ + − + − ⋅ ⋅ = − + − − ⋅ = − + + = = − − − − − − − − tan tan 1 tan tan 2 1 tan tan 1 tan tan 2 3 1 tan tan 1 tan tan 2 1 tan tan 1 tan tan 2 3 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 3 1 3 1 3 1 3 3 3 1 9 0 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (b) From the definition of the inverse tangent function, π π < < < < − − 0 tan 1 2 , 0 tan 2 2 , 1 1 and π < < − 0 tan 3 2 , 1 so π < + + < − − − 0 tan1 tan2 tan3 3 2 . 1 1 1 On the interval π θ ( ) = 0, 3 2 , tan 0 if and only if θ π = . Therefore, from part (a), π + + = − − − tan1 tan2 tan3 . 1 1 1 105. (a) − 2400 1200 3 in.2 (b) + 1350 675 3 cm2 107. θ θ θ θ θ θ θ ( ) = − = − + = − + m m mm tan tan tan tan 1 tan tan 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 109. Let α = − v sin 1 and β = − v cos . 1 Then α β = = v sin cos , and since α π α π α β ( ) ( ) = − − = sin cos 2 , cos 2 cos . If ≥ v 0, then α π ≤ ≤ 0 2 , so π α ( ) − 2 and β both lie in π ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 0, 2 . If < v 0, then π α − ≤ < 2 0, so π α ( ) − 2 and β both lie ln π π ( ⎤ ⎦ ⎥ 2 , . Either way, π α β ( ) − = cos 2 cos implies π α β − = 2 , or α β π + = 2 . 111. Let α = − v tan 11 and β = − v tan . 1 Because α β ≠ ≠ v 0, , 0. Then α β β = = = v tan 1 1 tan cot , and since α π α π α β ( ) ( ) = − − = tan cot 2 , cot 2 cot . Because α π > < < v 0, 0 2 , and so π α ( ) − 2 and β both lie in π ( ) 0, 2 . Then π α β ( ) − = cot 2 cot implies π α β − = 2 , or α π β = − 2 . 113. α β α β α β α β ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) − = − = ⋅ + − = ⋅ + + − + − − = ⋅ + − + − + = = x x x x x x x x x 2 cot 2 tan 2 1 tan tan tan tan 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 115. π tan 2 is not defined; π θ π θ π θ θ θ θ ( ) ( ) ( ) − = − − = = tan 2 sin 2 cos 2 cos sin cot . 116. ( ) ( ) − − − 1 3 , 5 9 , 5, 1 117. ° 510 118. π ≈ 9 2 m 14.14 m 2 2 119. θ θ θ θ θ = − = = − = = − sin 2 5 5 ; cos 5 5 ; csc 5 2 ; sec 5; cot 1 2 120. ( ) ( ) = + − f x x 1 4 2 3 2 121. { }6 122. x y z log7 3 2 5 123. x y 144 18 14 124. { } 2, 6 125. ( ) + + >− x x x 14 24 3 , 3 1/4 7.6 Assess Your Understanding (page 531) 1. θ θ θ sin ; 2 cos ; 2 sin 2 2 2 2. θ 2 3. θ sin 4. T 5. F 6. F 7. b 8. c 9. (a) 24 25 (b) 7 25 (c) 10 10 (d) 3 10 10 (e) 24 7 (f) 1 3 11. (a) 24 25 (b) − 7 25 (c) 2 5 5 (d) − 5 5 (e) − 24 7 (f) −2 13. (a) − 2 2 3 (b) 1 3 (c) +3 6 6 or + 18 6 6 6 (d) −3 6 6 or − 18 6 6 6 (e) −2 2 (f) + − 3 6 3 6 or +5 2 6 15. (a) 4 2 9 (b) − 7 9 (c) 3 3 (d) 6 3 (e) − 4 2 7 (f) 2 2 17. (a) − 4 5 (b) 3 5 (c) +5 2 5 10 or + 50 20 5 10 (d) −5 2 5 10 or − 50 20 5 10 (e) − 4 3 (f) + − 5 2 5 5 2 5 or +9 4 5 19. (a) − 3 5 (b) − 4 5 (c) − 1 2 10 10 5 or − 50 5 10 10 (d) − + 1 2 10 10 5 or − + 50 5 10 10 (e) 3 4 (f) − − + 10 10 10 10 or − − 11 2 10 3 21. −2 2 2 23. −1 2 25. − +2 3 2 27. ( ) + = − + 2 2 2 2 2 2 2 29. − −2 2 2 31. − 4 5 33. ( ) − 10 5 5 10 35. 4 3 37. − 7 8 39. 10 4 41. − 15 3 43. θ θ θ θ θ θ θ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − = − + = − + sin sin 1 cos 2 2 1 4 1 2cos 2 cos 2 1 4 1 2 cos 2 1 4 cos 2 4 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + ⋅ + = − + + = − + 1 4 1 2 cos 2 1 4 1 cos 4 2 1 4 1 2 cos 2 1 8 1 8 cos 4 3 8 1 2 cos 2 1 8 cos 4 45. θ θ θ θ θ θ θ θ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − ⋅ + = − = − ⎡ + ⎢ ⎣ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ − ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − sin cos 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 4 1 cos 2 1 4 1 1 cos 4 2 1 4 1 2 1 2 cos 4 1 8 1 8 cos 4 2 2 2 47. θ θ θ ( ) = − cos 3 4 cos 3 cos 3 49. θ θ θ θ ( ) = − + sin 5 16 sin 20 sin 5 sin 5 3 51. θ θ θ θ θ θ θ ( )( ) ( ) − = + − = cos sin cos sin cos sin cos 2 4 4 2 2 2 2 53. θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( ) ( ) = = − = − ⋅ = − = − ⋅ = − cot 2 1 tan 2 1 tan 2 tan 1 1 cot 2 1 cot cot 1 cot 2 cot cot 1 cot cot 2 cot 1 2 cot 2 2 2 2 2 2 2 55. θ θ θ θ θ θ θ θ ( ) ( ) = = − = − = − = − sec 2 1 cos 2 1 2 cos 1 1 2 sec 1 1 2 sec sec sec 2 sec 2 2 2 2 2 2 57. ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ = u u u u cos 2 sin 2 cos 2 2 cos 4 2 2
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